Post #54

相比于代数，我几何和分析学得少很多（基本上不超过课内，以至于大三才正式开始学微分流形），但今天看到这里时再次意识到，它们也有独有的相当有趣和奇妙的地方： 拓扑流形可能有不只一种微分结构这件事，实际上说明了无论拓扑与代数怎么发展，几何和分析始终有不可替代的重要性：总有一些东西是拓扑无法描述而分析能做到的，分析确实是本质上脱离于其他学科的；而三维及以下与五维及以上的微分结构的都较为简单，怪异的微分结构集中于四维这样一个很低维的空间，这件事也非常违背维数越高就越复杂这样的直觉，也说明表面简单的东西其实可能最为复杂；更广泛来看，我们身处的三维空间实际上，是让每个好的拓扑结构有唯一的微分结构——这个或许是近现代物理学根基的事实，成立的最高维空间，而这一点却在近代物理学发展数百年后的2006年才在数学上得以证明（数学上叫Thurston几何化猜想），真是奇妙且伟大的巧合，这样也能部分理解为什么说作为几何化猜想重要部分的庞加莱猜想蕴含着宇宙结构的奥秘了… 有趣的是，几何化猜想与庞加莱猜想证明者Perelman拒绝了几乎所有因此得到的奖项与奖金，在他看来证明被公认是对的，那么其余的认同是不需要的。而他最后退出数学界，隐居生活，也体现了他个性的不同凡响。 #微分流形#感想