Post #123

Будем строить последовательность по такому правилу Выберем натуральное число Если оно чётное, делим его на 2, в противном случае умножаем на 5 и прибавляем 1 С результатом будем проделывать то же самое снова и снова Какие последовательности будут возникать? Например, 1 – 6 – 3 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1, получился цикл; 5 – 26 – 13 – 66 – 33 – 166 – 83 – 416 – 208 – 104 – 52 – 26, снова цикл; 7 – 36 – 18 – 9 – 46 – …, а дальше не понятно, выйдет ли она на цикл или нет; по крайней мере на 100-м шаге получается число 11857916; 9 — в этой же растущей последовательности, 11 тоже выходит на неё; 15 попадает в цикл 1; 17 даёт ещё один цикл из 10 шагов… И в целом наблюдается довольно хаотичная картина многих устойчивых состояний-циклов и возможно бесконечного роста для некоторых начальных значений Должно ли что-то принципиально измениться, если всего лишь заменить 5 на 3 в этом правиле? Оказывается,что для любого начального значения все такие последовательности рано или поздно приходят к единице! Точнее говоря, пока не обнаружено такого числа, которое не пришло бы к единице, а проверено уже 2⁶⁸ первых натуральных чисел, и все они в итоге приходят к 1, и проверка непрерывно продолжается Это знаменитая гипотеза Коллатца (немецкий математик Лотар Коллатц сформулировал её 1 июля 1932 г.), одна из нерешённых проблем математики (известная также под именем сиракузской проблемы, проблемы 3n+1 и др.) Например, при n=27 последовательность состоит из 111 членов до первой единицы, достигая в пике значения 9232. Почему 3n+1 подчиняется порядку, а 5n+1 — нет? Ответа нет Математики предполагают, что множитель 3 создает баланс между "подъёмом" (3n+1) и "спуском" (n/2), а 5 — нарушает его Но строгого объяснения этого баланса нет В настоящее время непонятен даже статус этой гипотезы. Теоретически возможны три варианта: 1) Гипотеза доказуема в аксиоматике Пеано и, значит, верна для всех натуральных чисел 2) Гипотеза опровержима в аксиоматике Пеано, и тогда существует контрпример — конкретное стандартное натуральное число, для которого последовательность уходит в бесконечность или в цикл, отличный от 4 – 2 – 1 3) Гипотеза неопровержима и недоказуема в системе аксиом Пеано, и это означает, что в этой аксиоматике невозможно ни доказать, что все числа приходят к 1, ни предъявить контрпример Но в любом случае, в стандартной модели множества натуральных чисел она является истинной или ложной, даже если она недоказуема в аксиоматике Пеано Если она истинна, это означает, что аксиоматика Пеано слишком слаба для её доказательства, а если ложна (и существует контрпример), то аксиоматика Пеано не умеет его построить Стоит отметить, что конструктивная математика (отвергающая закон исключённого третьего для бесконечных множеств) допускает иную философскую позицию: у нас может никогда не быть конструктивных оснований ни для подтверждения гипотезы (алгоритма, строящего путь к 1 для любого n), ни для её опровержения (предъявления явного контрпримера) Таким образом, для нас она может остаться без установленного значения истинности