Post #213

Возведение числа «в треугольник» и извлечение «треугольного корня» Оригинальная статья Возведение числа в треугольник — это операция, аналогичная возведению в квадрат, но с треугольной геометрией вместо квадратной Если квадрат числа n (обозначаемый теперь n☐ вместо привычного n²) представляет собой площадь квадрата со стороной n, то треугольное число n△ определяется как количество точек в треугольной решётке со стороной n Геометрически, чтобы найти, например, 4△, мы представляем треугольник из точек с 4 точками внизу, 3 точками над ними, 2 точками выше и 1 точкой на вершине — всего 10 точек Таким образом, 4△ = 10 Формально треугольное число рассчитывается по треугольному тождеству: n△ = n(n+1)/2 Легко убедиться, что (–4)△ = 3△ = 6. И, значит, алгебраический треугольный корень из 6 — это 3 и –4 Формула для расчёта треугольного корня из n имеет вид: ▵√n = (±√ (8n+1)−1) / 2 И свои формулы сокращённого умножения, например: (m+n)△ = m△ + mn + n△ Это тождество легко понять геометрически: треугольник размера (m+n)△ состоит из следующих фигур: треугольника размера m△ (синий), прямоугольника размера mn (фиолетовый) и треугольника размера n△ (красный) Вместо квадратных решать треугольные уравнения: ax△ + bx + c = 0 Формулу его корней несложно получить, она имеет вид: x =▵√ ((b/а)△−c/а)−b/а Однако, несмотря на определённые алгебраические достижения, математически это не сложная история Например, в нашем мире евклидова метрика основана на сумме квадратов — замена же её на сумму треугольников нарушает аксиомы метрики (не выполняется неравенство треугольника) Если квадратичные формы играют фундаментальную роль в теории чисел, теории групп и дифференциальной геометрии, связаны с группами Ли и симметриями (например, группой вращений SO(3)), то треугольные числа не порождают аналогичных структур Многие фундаментальные законы физики выражаются через квадратичные функции (закон всемирного тяготения Ньютона, закон Кулона) Это связано с тем, что в трёхмерном пространстве интенсивность излучения от точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния (поскольку по мере удаления излучения от источника оно распространяется на площадь, которая увеличивается пропорционально квадрату расстояния от источника) А треугольные операции не имеют подобных физических интерпретаций, и это ограничивает их применение в науке В комплексном анализе квадратичные функции имеют естественное продолжение, их свойства хорошо изучены Треугольные операции могут быть сформулированы для комплексных чисел, но их аналитические свойства не обладают такой же силой Привычная нам квадратная алгебра более эффективна для описания мира Тем не менее, треугольные числа находят применение в комбинаторике, теории чисел и некоторых областях информатики, доказывая, что в нашем квадратном мире есть место и для треугольных идей