Post #265

От мини-курса Л.Д. Беклемишева про модели арифметики и комбинаторные независимые утверждения на ЛШСМ-2025 доступны не только видеозаписи, но и подробные записки «Теорема Канамори–Макалуна и её независимость от аксиом формальной арифметики»: «Первая теорема Гёделя о неполноте говорит о том, что для любой достаточно богатой непротиворечивой теории T с эффективно распознаваемым множеством аксиом существуют арифметические предложения ϕ, не доказуемые и не опровержимые в T (…) Доказательство теоремы Гёделя также напоминает логический парадокс На фоне этого математики высказывали предположение о том, что явление неполноты, открытое Гёделем, возможно не проявляется в реальной математической практике (…) Математически естественные примеры независимых утверждений, такие как континуум-гипотеза или гипотеза Суслина, были вскоре обнаружены в теории множеств, дескриптивной теории функций, общей топологии, общей алгебре и других областях математики Однако, все они касались бесконечных множеств (…) Ситуация оставалась такой вплоть до конца 1970-х годов, когда были найдены естественные утверждения из области конечной комбинаторики (…) Наиболее известный такой пример — теорема Дж. Париса и Л. Харрингтона, представляющая собой небольшую модификацию известной теоремы Рамсея В дальнейшем А. Канамори и К. Макалун нашли родственное утверждение (…), которое даёт, в том числе, и более простой способ доказательства независимости теоремы Париса–Харрингтона Настоящая серия лекций посвящена введению в теорию моделей формальной арифметики и доказательству этих результатов» https://www.mathnet.ru/rus/present46936 https://mccme.ru/dubna/2025/notes/beklemishev-notes.pdf