Post #323

Евклидова геометрия, излагаемая в современных школьных учебниках, основана на труде "Начала", написанном около 300 г. до н.э. Однако с точки зрения современной математической строгости эта система содержит ряд фундаментальных пробелов Евклид начинает "Начала" с определений, которые с современной точки зрения таковыми не являются Например, точка определяется как "то, что не имеет частей", прямая линия — как "длина без ширины" Эти описания носят интуитивный характер и не могут служить основой для формальной аксиоматики Углы вводятся без определения меры Евклид оперирует понятиями "больше" или "меньше", но не определяет сложение углов или их равенство аксиоматически Он пользуется утверждением "точка B лежит между A и C", никак не определяя, что значит "между" — понятием, основанным на аксиомах порядка Для доказательства равенства треугольников Евклид использует наложение фигур, но не аксиоматизирует движение При построении равностороннего треугольника предполагает, что две окружности пересекаются, опираясь на интуитивное представление (а не на аксиому непрерывности) В доказательстве теоремы Пифагора использует свойства площадей без строгого определения самого понятия площади Применяет теорему Паша (если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через вершины, она пересекает другую сторону) без доказательства и включения в аксиоматику Евклидова геометрия, несмотря на свою педагогическую ценность, представляет собой упрощённую и интуитивную версию, не соответствующую современным стандартам математической строгости Подлинная аксиоматическая основа геометрии была создана только в конце XIX — начале XX вв. благодаря работам Гильберта, Пеано и других математиков Однако эти недостатки не умаляют заслуг Евклида (который по одной из версий был не одним человеком, а коллективным псевдонимом александрийских математиков, объединивших знания эпохи в единый канон), но показывают эволюцию математики: от интуитивных построений к формальной точности Его главный вклад состоял не в открытии новых теорем, а в создании логически связной системы, в которой каждое утверждение выводится из явно сформулированных посылок И хотя современная наука выявила пробелы в этой системе, "Начала" остаются выдающимся примером научного мышления, свидетельством того, что математика остается живой наукой, где даже канонические тексты подвергаются переосмыслению