Post #711

Никакая вычислимая аксиоматизированная теория, включающая арифметику, не может быть полной Всегда будут утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть Ни одна такая теория не может доказать собственную непротиворечивость Истинность: семантическое свойство, связанное с реальностью математических структур Доказуемость: синтаксическое свойство, связанное с процессом формальных доказательств в аксиоматической системе Невозможно создать алгоритм, который бы для любой программы всегда правильно определял, остановится ли она Диагональный аргумент: используется для доказательства неразрешимости проблемы остановки, лежащей в основе теорем о неполноте Если бы существовала полная система аксиом для арифметики, можно было бы решить проблему остановки Поскольку проблема остановки неразрешима, такая система аксиом не существует Невозможно создать полностью непротиворечивую и исчерпывающую математическую теорию Любая теория всегда будет содержать истинные утверждения, которые нельзя доказать в её рамках, и не сможет доказать свою собственную непротиворечивость