fp math

Есть невырожденная n×n матрица над полем из 2 элементов. За один ход можно прибавить к одной строке другую. Хочется переставить строки циклически. Это можно сделать за 3n-3 хода (потому что транспозиция двух строк делается за 3 хода). Гипотеза (sic) - что…

Существует ли неприводимый унитарный многочлен f с целыми коэффициентами степени n>1 такой, что для его комплексных корней r_1,...,r_n и любого sigma из группы Галуа выполнено соотношение sum_i sigma(r_i)/r_i=n? https://mathoverflow.net/q/507455/4312

Можно ли раскрасить вещественную ось в счётное число цветов так, чтобы не было нетривиального одноцветного решения уравнения x+y=z+t? Ответ: да, если континуум-гипотеза верна и нет иначе via Церен Французов

https://radcliffe.github.io/01matrixpuzzle/ вместо картинок на выходных в этот раз пусть будет такая игра с матрицами «This app explores the group of nonsingular n-by-n matrices over the field of two elements. This group is generated by transvections, i.e. adding one row to another row mod 2. A row swap can be decomposed into three transvections, by the XOR trick. Since any permutation of n elements can be expressed as the product of at most n-1 transpositions, it follows that any permutation matrix can be expressed as the product of at most 3n-3 transvections. It is conjectured¹ that the cyclic permutation matrix of order n requires no fewer than 3n-3 transvections. This has been verified up to n = 8. Starting from a random invertible matrix, the expected number of steps is Θ(n²/log(n)).» ¹ https://arxiv.org/abs/2503.01467

Есть невырожденная n×n матрица над полем из 2 элементов. За один ход можно прибавить к одной строке другую. Хочется переставить строки циклически. Это можно сделать за 3n-3 хода (потому что транспозиция двух строк делается за 3 хода). Гипотеза (sic) - что за меньшее число ходов нельзя.

Взаимное расположение корней многочлена и его производной давно интересует математиков, и в целом там всё непросто. В своё время я пытался доказать гипотезу де Брёйна — Шпрингера, что у любой выпуклой функции среднее по корням многочлена не меньше, чем по корням производной, и ничего у меня не вышло — а вскоре после этого вышло у Сени Маламуда, и так умно и коротко, что я до сих пор офигеваю. Потом оказалось, что то же параллельно сделал Раджеш Перейра — вот почему так постоянно происходит, что 55 лет никто не мог доказать, а потом одновременно доказали сразу двое?

"Один человек из аудитории спросил меня, являются ли математики скорее «изобретателями» — то есть творцами нового мира, созданного их воображением,— или же «первооткрывателями» предсуществующей реальности. Я ответил, что, как и почти все математики, я скорее склоняюсь к платонизму и воспринимаю математику как реальность, независимую от нас, которая существовала в нас, но была сокрыта, укрыта покровом, и наша задача — обнажить её. Однако, поразмыслив, я прихожу к выводу, что для характеристики деятельности математика (или, в более широком смысле, учёного, ищущего истину) существует слово более точное и куда более глубокое, чем «изобретатель» или «первооткрыватель», слово также полностью библейское, которое появляется в конце длинного отрывка из Гротендика, процитированного мною: математик — это слуга. Слуга — это тот, кто заботится о чём-то ином, а не о себе: так же и математик, который в моменты погружения в математику теряет даже сознание собственного «я». Слуга не решает: математик никогда не решает, что является истинным, но постоянно натыкается на сопротивление истины. Он прилагает усилия к истине, но не может её исказить, кроме как немедленно введя себя в заблуждение; он может лишь прилепиться к ней, повиноваться. Слуга — это один из многих, и более того, он, по слову Христа, «раб неключимый»: то, что он делает, другой мог бы сделать на его месте. Точно так же математик чувствует себя крошечным перед лицом огромной традиции математики, лишь ничтожную часть которой он знает и которую ему было бы не под силу выстроить самостоятельно. Лучшее, на что он может надеяться, — это продвинуть её чуть-чуть вперёд, в то же время осознавая, что его работа будет быстро превзойдена, что многие другие способны сделать то же самое не хуже него и что они неизбежно сделают это однажды, если он сам не приложит к этому руку. Он также знает, что даже самые сложные проблемы покажутся лёгкими и перестанут впечатлять, как только будут решены в первый раз, так что любой прогресс, которого он добивается, растворяет, стирает и заставляет забыть о трудности, которую пришлось преодолеть. Слуга не говорит, он слушает. Математик должен замолкнуть внутренне и прислушаться, напрячь своё существо, чтобы услышать столь тонкий и деликатный голос вещей, каковы они есть, и позволить руке бежать под их диктовку. Как это ни странно, но именно становясь слугой математических реальностей и их голосом, их переводчиком, математик реализует себя. Величайшие математические тексты одновременно и самые безличные — в том смысле, что каждый, читая их, испытывает глубокую эмоцию, видя, как из тумана невысказанного, строка за строкой, появляется нечто, что он всегда в себе носил, что жаждало быть высказанным и до сих пор не могло обрести выражения, — и самые личные — в том смысле, что сразу узнаёшь почерк их автора" Лоран Лафорг (перевод с французского)

ППКС

Гипотеза Диница (сейчас теорема Гэлвина) утверждает следующее: На бал пришли n юношей и n девушек, каждая пара юноша-девушка умеет танцевать n из N>n предлагаемых на балу танцев. Тогда можно организовать танцы так, чтобы каждая пара потанцевала хотя бы раз. (Во время каждого танца можно отдыхать, либо танцевать его ровно с одним партнёром противоположного пола.) Доказательство (и в такой формулировке это менее удивительно, чем с латинскими квадратами) использует теорему Гейла — Шепли об устойчивом паросочетании: если у каждого юноши есть упорядоченный список предпочтения девушек и наоборот, то их можно всех поженить так, чтобы не нашлось не состоящей в браке пары, предпочитающей друг друга своим супругам. Сначала зададим базовые предпочтения юношей и девушек: пронумеруем тех и других остатками по модулю n, назовём тайной пары юноша-девушка остаток суммы номеров по модулю n. Пусть каждый юноша предпочитает девушек в порядке возрастания тайны (чем меньше тайна, тем привлекательнее девушка), а каждая девушка — в порядке убывания тайны. Вот бал начался, объявили вальс. Сейчас, конечно, порядок предпочтений изменился: каждому нравятся в первую очередь те партнёры, с которыми получится станцевать вальс, а они — в базовом порядке. Рассмотрим устойчивое паросочетание для таких порядков предпочтений. В нём некоторые пары могут танцевать вальс, они пусть его танцуют, остальные отдыхают. Теперь объявили полонез. Порядок предпочтений такой: в первую очередь нравятся партнёры, с которыми пока не танцевали и с кем получится станцевать полонез. В остальном всё как с вальсом. И так далее для каждого танца. Докажем, что любая пара, скажем, Саша и Наташа, танцевали друг с другом. Обозначим через m их тайну. Если они не танцуют друг с другом один из танцев, которые умеют, то по условию устойчивости это значит, что либо Саша предпочитает Наташе свою партнёршу, либо наоборот. Первое происходит, когда Саша танцует с девушкой, с которой у него тайна меньше m, и с которой он ещё не танцевал до этого, (таких девушек всего m, так что это может произойти не более m раз). Наоборот бывает у Наташи с юношами, с которыми у неё тайна больше m (таких юношей n-m-1). Итак, они могли пропустить не более m+(n-m-1)=n-1 из своих n танцев, поэтому танцевали друг с другом.

Разбирая старые бумаги, нашёл тетрадку с задачами, которые придумывал в школе. У всех там написаны и решения, а у этой нет. Никаких воспоминаний о ней.

На межнаре предлагалась такая задача (при n=2025): для какого наименьшего m можно разбить квадрат n×n на m прямоугольников и обобщённую диагональ (=набор из n клеток, по одной в каждой строке и каждом столбце)? Вопрос не выглядит очень естественным: почему диагональ обобщённая, а прямоугольники обычные? Давайте называть обобщённым прямоугольником a×b множество из ab клеток, лежащих в a строках и b столбцах. Для какого наименьшего m можно разбить квадрат n×n на m обобщённых прямоугольников и обобщённую диагональ? Вопрос, правда, довольно стандартный, на олимпиаду не дашь.

Снова много новых подписчиков - это откуда?