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海盗分宝石：怯懦者继承财富 五个海盗抢到了 100 颗宝石，每一颗都一样大小并价值连城。他们决定，先抽签决定自己的号码（1、2、3、4、5），然后由 1 号提出分配方案让大家表决，当半数或者超过半数的人同意时，按照他的方案进行分配，否则他将被扔进大海喂鲨鱼。如果 1 号死了，就由 2 号提出分配方案，然后剩下的 4 人进行表决，当半数或者超过半数的人同意时，按照他的方案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。每个海盗都是很聪明的人，都能很理智地判断，从而作出选择。那么第一个海盗提出怎样的分配方案才能使自己的收益最大化？ 数学的逻辑有时会推导出看来十分怪异的结论。一般的规则是，如果逻辑推理没有漏洞，那么结论就必定站得住脚，即使它与你的直觉矛盾。本题是加利福尼亚州的物理学家奥莫亨德罗编写的一道难题，它恰好就属于这一类。这个难题已经流传了至少十年，奥莫亨德罗只是对它作了改动，使这个逻辑问题变得更加复杂。 先来看看此难题原先的情形吧！10 名海盗抢得了窖藏的 100 块金子，并打算瓜分这些战利品。这是一些讲民主的海盗（当然是他们自己特有的民主）。因此他们的分配方式有些特别。他们先让最厉害的一名海盗提出分配方案，然后所有的海盗（包括提出方案者本人）就此方案进行表决。如果 50％或更多的海盗赞同此方案，此方案就获得通过，并据此分配战利品。否则提出方案的海盗将被扔到海里，然后由下一位提名为最厉害的海盗重复上述过程。 所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里，不过，如果让他们选择的话，他们还是宁可得一笔现金——在能保证自己不被扔到海里的情况下。所有的海盗都是有理性的，而且知道其他的海盗也是有理性的。此外，没有两名海盗是同等厉害的——这些海盗按照完全由上到下的等级排好了座次，并且每个人都清楚自己和其他所有人的等级。这些金块不能再分，也不允许几名海盗共有一块金块，因为任何海盗都不相信他的同伙会遵守关于共享金块的安排。这是一伙每人都只为自己打算的海盗。 最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢？ 为方便起见，我们按照这些海盗的怯懦程度来给他们编号：最怯懦的海盗为 1 号海盗，次怯懦的海盗为 2 号海盗，如此类推。这样最厉害的海盗就应当得到最大的编号，而方案的提出就将倒过来从上至下地进行。 分析所有这类策略游戏的奥妙就在于应当从结尾出发倒推回去。游戏结束时，你就会知道何种决策有利而何种决策不利。确定了这一点后，你就可以把它用到倒数第 2 次决策上，如此类推。如果从游戏的开头开始分析，那是走不了多远的。其原因在于，所有的战略决策都是要确定：“如果我这样做，那么下一个人会怎样做？” 因此，在你后面的海盗所作的决定对你来说是重要的，而在你之前的海盗所作的决定并不重要，因为你已对这些决定无能为力了。 记住了这一点，就可以知道我们的出发点应当是游戏进行到只剩两名海盗——1 号和 2 号——的时候。这时最厉害的海盗是 2 号，而他的最佳分配方案是一目了然的：100 块金子全归他一人所有，1 号海盗什么也得不到。由于他自己肯定为这个方案投赞成票，这样就占了总数的 50％，因此方案获得通过。 现在加上 3 号海盗。1 号海盗知道，如果 3 号的方案被否决，那么最后将只剩 2 个海盗，而 1 号将肯定一无所获。此外，3 号也明白 1 号了解这一形势。这样，只要 3 号的分配方案给 1 号一点甜头，使他不至于空手而归，那么不论 3 号提出什么样的分配方案，1 号都将投赞成票。因此，3 号需要分出尽可能少的一点金子来贿赂 1 号海盗。这样，就有了下面的分配方案：3 号海盗分得 99 块金子，2 号海盗一无所获，1 号海盗得 1 块金子。 4 号海盗的策略也差不多。他需要有 50％的支持票，因此同 3 号一样，也需再找一人做同党。他可以给同党的最低贿赂是 1 块金子，而他可以用这块金子来收买 2 号海盗。因为如果 4 号被否决而 3 号得以通过，那么 2 号将一文不名。因此，4 号的分配方案应是：99 块金子归自己，3 号一块也得不到，2 号得 1 块金子，1 号也是一块也得不到。 5 号海盗的策略稍有不同。他需要收买另两名海盗，因此至少得用 2 块金子来贿赂，才能使自己的方案得到采纳。他的分配方案应该是：98 块金子归自己，1 块金子给 3 号，1 块金子给 1 号。 这一分析过程可以照着上述思路继续进行下去——每个分配方案都是唯一确定的，它可以使提出该方案的海盗获得尽可能多的金子，同时又保证该方案肯定能通过。照这一模式进行下去，10 号海盗提出的方案将是 96 块金子归他所有，其他编号为偶数的海盗各得 1 块金子，而编号为奇数的海盗则什么也得不到。这就解决了 10 名海盗的分配难题。 奥莫亨德罗的贡献是他把这一问题扩大到有 500 名海盗的情形，即 500 名海盗瓜分 100 块金子。显然，类似的规律依然成立，至少是在一定范围内成立。事实上，前面所述的规律直到第 200 号海盗都成立。200 号海盗的方案将是：从 1 到 199 号的所有奇数号的海盗都将一无所获，而从 2 到 198 号的所有偶数号海盗将各得 1 块金子，剩下的 1 块金子归 200 号海盗自己所有。 乍看起来，这一论证方法到 200 号之后将不再适用了，因为 201 号拿不出更多的金子来收买其他海盗。但是即使分不到金子，201 号至少还希望自己不会被扔进海里。因此他可以这样分配：给 1 到 199 号的所有奇数号海盗每人 1 块金子，自己一块也不要。 202 号海盗同样别无选择，只能一块金子都不要了——他必须把这 100 块金子全部用来收买 100 名海盗，而且这 100 名海盗还必须是那些按照 201 号方案将一无所获的人。由于这样的海盗有 101 名，因此 202 号的方案将不再是唯一的，实际上有 101 种。 203 号海盗必须获得 102 张赞成票，但他显然没有足够的金子去收买 101 名同伙。因此，无论提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。不过，尽管 203 号命中注定死路一条，但并不是说他在游戏进程中不起任何作用。相反，204 号现在知道，203 号为了能保住性命，就必须避免由他自己来提出分配方案这种局面，所以无论 204 号海盗提出什么样的方案，203 号都一定会投赞成票。这样，204 号海盗总算侥幸捡到一条命：他可以得到他自己的 1 票、203 号的 1 票，以及另外 100 名收买的海盗的赞成票，刚好达到保命所需的 50％。获得金子的海盗，必然在根据 202 号方案肯定将一无所获的那 101 名海盗之列。 205 号海盗的命运又如何呢？他可没有这样走运了。他不能指望 203 号和 204 号支持他的方案，因为如果他们投票反对 205 号方案，就可以幸灾乐祸地看到 205 号被扔到海里去喂鱼，而他们自己的性命却仍然能够保全。这样，无论 205 号海盗提出什么方案都必死无疑。206 号海盗也是如此，他虽然可以得到 205 号的支持，但这不足以救他一命。类似地，207 号海盗需要 104 张赞成票——除了他收买的 100 张赞成票以及他自己的 1 张赞成票之外，他还需 3 张赞成票才能免于一死。他可以获得 205 号和 206 号的支持，但第 3 张票却是无论如何也弄不到了，因此 207 号海盗的命运也是下海喂鱼。 208 号又时来运转了。他需要 104 张赞成票，而 205、206、207 号都会支持他，加上他自己一票及收买的 100 票，他得以过关保命。获得他贿赂的必属于那些根据 204 号方案肯定将一无所获的人，包括 2 到 200 号中所有偶数号的海盗以及 201、203、204 号。 我们发现，那些方案能过关的海盗（他们的分配方案都是用全部金子收买 100 名同伙）相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提什么样的方案都会被扔进海里。因此为了保命，他们必会投票支持比他们厉害的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括 201、202、204、208、216、232、264、328、456 号，即那些号码等于 200 加 2 的某一次方的海盗。 现在我们来看看哪些海盗是获得贿赂的幸运儿。分配贿赂的方法不是唯一的，其中一种方法是让 201 号海盗把贿赂分给 1 到 199 号的所有奇数编号的海盗，让 202 号分给 2 到 200 号的所有偶数编号的海盗，然后是让 204 号贿赂奇数编号的海盗，208 号贿赂偶数编号的海盗，以此类推，也就是轮流贿赂奇数编号和偶数编号的海盗。 结论是：当 500 名海盗运用最优策略来瓜分金子时，头 44 名海盗必死无疑，而 456 号海盗则给从 1 到 199 号中所有奇数编号的海盗每人分 1 块金子，问题就解决了。这些海盗所实行的那种民主制度，导致最厉害的一批海盗多半都下海喂鱼了，而幸存的那些海盗精英也只能聊以自慰——虽然分不到抢来的金子，但总可以免于一死。只有最怯懦的 200 名海盗有可能分得一份赃物，而他们之中又只有一半的人能真