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“幸存者”的策略 哥伦比亚广播公司的《幸存者》节目以许多有趣的策略博弈为特征。在《幸存者：泰国》的第 6 集中，由两个小组或两个部落参与的游戏，无论在理论上还是在实践上，都不失为一个向前展望、倒后推理的好例子。[1]在两个部落之间的地面插着 21 支旗，两个部落轮流移走这些旗。每个部落在轮到自己时，可以选择移走 1 支、2 支或 3 支旗。（这里，0 支旗代表放弃移走旗的机会，是不允许的，也不允许一次移走 4 支或 4 支以上的旗。）拿走最后 1 支旗的一组获胜，无论这支旗是最后 1 支，还是 2 支或 3 支旗中的一支。[2]输了的一组必须淘汰掉自己的一个组员，这样，该组在以后的比赛中的能力就会削弱。事实证明，这次损失在这种情况下非常致命，因为对方部落的一个成员将继续参加比赛，争夺 100 万美元的最终奖金。因此，找出比赛的正确策略一定非常有价值。 这两个部落名为 Sook Jai 和 Chuay Gahn，由 Sook Jai 先行动。它一开始拿走了 2 支旗，还剩下 19 支。在继续读下去之前，先停下来想一想。如果你是 Sook Jai 部落的成员，你会选择拿走多少支旗？ 把你的选择记下来，然后继续往下读。为了弄明白这个游戏应该怎么玩，并且把正确策略与两个部落实际上采取的策略进行比较，注意两个十分有启迪性的小事件通常很有用。第一个小事件是，在游戏开始前，每个部落都有几分钟时间让成员讨论。在 Chuay Gahn 部落的讨论过程中，其中一个成员泰德·罗格斯（Ted Rogers）——一个非裔美国软件开发人员，指出：“最后一轮时，我们必须留给他们 4 支旗。”这是正确的：如果 Sook Jai 部落面临着 4 支旗，他们只能移去 1 支、2 支或者 3 支旗，与此相对应，Chuay Gahn 部落在最后一轮中分别移去剩下的 3 支、2 支或 1 支旗，最终 Chuay Gahn 部落在游戏中取胜。实际上，Chuay Gahn 部落确实得到并正确地利用了这一机会：在面临 6 支旗时，他们拿走了 2 支。 但是，还有另外一个有启发性的小事件。在前一轮，就在 Sook Jai 从剩下的 9 支旗中拿走 3 支返回后，他们中的一个成员斯伊·安（Shii Ann）——一个好辩的、能言善道的、很为自己的分析能力感到自豪的参赛者，突然意识到：“如果 Chuay Gahn 现在取走 2 支旗，我们就糟了。”所以，Sook Jai 刚才的行动其实是错误的。他们本应该怎样做呢？ 斯伊·安或者 Sook Jai 部落的其他成员本来应该像泰德·罗格斯那样推理，除了实践在下一轮给对方部落留下 4 支旗这一逻辑推理之外。你怎样才能确保在下一轮时给对方留下 4 支旗呢？方法是在前一轮中给对方留下 8 支旗！当对方在 8 支旗中取走 3 支、2 支或 1 支时，接下来轮到你时，你再相应地取走 3 支、2 支或 1 支，按计划给对方留下 4 支旗。所以，Sook Jai 本来可以只在剩下的 9 支旗中取走 1 支，从而扭转局面。虽然斯伊·安的分析能力很强，但为时已晚！或许泰德·罗格斯有着更好的分析洞察力。但确实是这样吗？ Sook Jai 怎么会在前一轮面临 9 支旗呢？因为 Chuay Gahn 在前一轮中从剩下的 11 支旗中取走了 2 支。泰德·罗格斯的推理本来应该再倒后一步。Chuay Gahn 本来可以取走 3 支旗，留给 Sook Jai 8 支旗，这样，Sook Jai 就会面临输掉比赛的局面。 同样的推理可以再倒后一步。为了给对方部落留下 8 支旗，你必须在前一轮给对方留下 12 支旗；要达到这个目的，你还必须在前一轮的前一轮给对方留下 16 支旗，在前一轮的前一轮的前一轮给对方留下 20 支旗。所以，Sook Jai 本来应该在游戏开始时只取走 1 支旗，而不是实际上取走的 2 支。这样的话，Sook Jai 就可以在连续几轮中分别给 Chuay Gahn 留下 20 支、16 支……4 支旗，确保取胜。[3] 现在来考虑一下 Chuay Gahn 部落在第一轮应该选择多少支旗。他们面临着 19 支旗。如果他们当时充分地利用了倒后推理的逻辑，他们就本应该取走 3 支旗，给 Sook Jai 留下 16 支旗，也就踏上了必胜之路。在比赛中局，无论对方在哪一个点犯了错误，接下来轮到的那个部落都可以抓住主动权，从而获胜。但是很遗憾，Chuay Gahn 也没有很完美地玩好这个游戏。[4] 下面的表格对博弈的每个决策点上的实际行动和正确行动进行了对比。（“不行动”表示若对手的行动是正确的，那么任何行动选择都必然失败。）你可以看到，除了 Chuay Gahn 在面临着 13 支旗时的选择是正确的之外，几乎所有的选择都是错误的。而当时 Chuay Gahn 一定是偶然选对的，因为在下一轮面临 11 支旗时，他们本应该取走 3 支旗，却只取走了 2 支。  在你苛刻评价这两个部落之前，你必须意识到，即使学会怎样玩一个非常简单的博弈，也是需要时间和经验的。我们已经在课堂上让各组学生玩过这个游戏，结果发现，常青藤联盟的一年级学生需要玩三次甚至四次后才能进行完整的推理，并且从第一步行动开始就一直采取正确的策略。（顺便问一下，当时我们叫你选择的时候，你选择了多少支旗？你是如何推理的？）顺便提一句，人们似乎通过观察别人玩博弈比自己玩博弈学得更快；也许这是因为作为一个观察者比作为一个参与者更容易把游戏看作一个整体，并冷静地对其进行推理。 为了加深你对推理逻辑的理解，我们给你提供了我们的第一个“健身之旅”——你可以练习一下这些问题，以此磨炼你对策略思维的运用技能。答案请参阅本书健身之旅题解。 既然你已通过这些练习而深受鼓舞，那我们就继续来考察整个博弈课堂中普遍存在的策略问题吧。 健身之旅 1 让我们把这个旗子游戏变成一个棘手的问题：现在，你要通过迫使对方取走最后 1 支旗来获胜。该你行动了，还剩 21 支旗。你会取走多少支旗呢？