Post #7232

Isboti: 5 dan katta barcha tub sonlar toq bo‘lgani sababli, n=2k+1 deb olamiz. n4–1=(2k+1)4–1= =(2k)4+4·(2k)3+6·(2k)2+4·(2k)+14–1 =16k4+32k3+24k2+8k Bu qiymatni topib olgach, mayda detallar bo‘yicha hisob-kitob qilamiz. Qaysidir son 240 ga qoldiqsiz bo‘linsa, bu son 240=16·3·5 bo‘lgani sababli 16, 5 va 3 ning har biriga qoldiqsiz bo‘linishi lozim. 16 ga bo‘linishni tekshiramiz: Birinchi va ikkinchi had 16 ga qoldiqsiz bo‘linadi. Demak, 3- va 4-hadlar yig‘indisi 16 ga bo‘linsa, ifoda 16 ga bo‘linadi. Agar k juft son bo‘lsa, har bir had o‘zi 16 ga bo‘linadi. Agar k toq son bo‘lsa, 24k2+8k=8k(3k+1) ifodada qavs ichi doim juft son bo‘ladi va 8 ni juft songa ko‘paytirsa, ko‘paytma 16 ga bo‘linadi. Demak, bu ifoda qar qanday holda 16 ga bo‘linadi. Keling endi, 3 ga bo‘linish shartini tekshiraylik: 1) k 3 ga qoldiqsiz bo‘linsa, ifoda ham 3 ga bo‘linadi; 2) k ni 3 ga bo‘lganda 1 qoldiq qolsa, 2k+1 3 ga qoldiqsiz bo‘linadi va bu son tub bo‘lmaydi; 3) k ni 3 ga bo‘lganda 2 qoldiq qolsa, 2k+1 ni 3 ga bo‘lganda, 2 qoldiq qoladi; (2k+1)4–1 3 ga bo‘lganda esa qoldiq qolmaydi va bu ifoda ham 3 ga bo‘linadi. Xulosa, ifoda doim 3 ga bo‘linadi. Endi, 5 ga bo‘linishni tekshirsak: 1) n 5 ga bo‘linsa, tub son bo‘lmay qoladi; 2) n ni 5 ga bo‘lganda qoldiq 1 bo‘lsa, n4–1 ni 5 ga bo‘lganda qoldiq nol bo‘ladi; (1–1=0) 3) n ni 5 ga bo‘lganda qoldiq 2 bo‘lsa, n4–1 ni 5 ga bo‘lganda qoldiq nol bo‘ladi; (24–1=15) 4) n ni 5 ga bo‘lganda qoldiq 3 bo‘lsa, n4–1 ni 5 ga bo‘lganda qoldiq nol bo‘ladi; (81–1=80) 5) n ni 5 ga bo‘lganda qoldiq 4 bo‘lsa, n4–1 ni 5 ga bo‘lganda qoldiq nol bo‘ladi. (256–1=255) Xulosa: n soni 3, 5 va 16 ga qoldiqsiz bo‘lingani sababli, 240 ga ham qoldiqsiz bo‘linadi. @iksvariant