AML

«Remarkably, many different flavors of mathematical objects can be classified by moduli spaces, and if the objects are algebro-geometric, the moduli space is usually an algebraic variety, often even a projective variety Surprising, right? (…) We are singularly focused on the question: Why do moduli spaces exist as varieties? By surveying how solutions to this question have evolved since Riemann’s work in the 1850s, we will reveal many of the central ideas in modern moduli theory, and we will do so using the language of stacks (…) While we present this material primarily in the algebraic setting, we also try to highlight parallel constructions in topology and analytic geometry» Jarod Alper. Evolution of Stacks and Moduli https://www.ams.org/journals/notices/202511/rnoti-p1248.pdf

В квантовой механике, любое измерение обязательно приводит к необратимому изменению Это свойство в основе квантовой передачи ключей — QKD (Quantum Key Distribution)

Говоря о самом математике Фибоначчи или, как его называют, Леонардо из Пизы, часто вспоминают «заячью» задачу о рождаемости новых пар кроликов — интересный, модельный пример проявления его чисел в популяционных процессах Но есть ещё одна область — природная А именно, филотаксис — наука о расположении листьев, семян и цветков И расскажем мы об этом проявлении чисел Фибоначчи аж в трёх частях: ↕️ Модель Фогеля 🤭 В 1979 году физик Хельмут Фогель предложил математическую схему, которая потрясающе точно воспроизводит рисунок на подсолнухе: 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 Он описал положение n-го семечка двумя формулами в полярных координатах: r(n) = c√n, θ(n) = n · α, где α = 2π·(1−φ) — золотой угол, примерно равный 137,5°, а φ = (√5−1)/2 — золотое сечение Причём тут Фибоначчи, спросите вы? При том, что вычисляется золотое сечение как предел отношения последовательных чисел Фибоначчи Fₙ/Fₙ₊₁ Каждое следующее семя «откручивается» от предыдущего на этот угол и смещается от центра на расстояние, пропорциональное корню из n. В результате и возникает узнаваемая спираль, известная как спираль Ферма Попробуй чуть-чуть изменить угол — и порядок сразу рушится Филотаксис оказывается крайне чувствительным к точности: даже отклонение на 1° заметно портит симметрию ↕️ Секрет золотого угла ↕️ Золотой угол, помимо того что относится к углу, дополняющему его до полного, так же, как тот относится к полному углу, обладает ещё одним важным свойством: он делит круг в иррациональной пропорции Если бы он был рациональным делением круга, новые листочки располагались бы «в линию» и мешали бы друг другу, создавая тень А с иррациональными пропорциями невозможно «попасть в резонанс» — точки редко оказываются на одной линии Для растения такое листорасположение — жизненно важный фактор, так как весь падающий свет используется наилучшим образом ↕️ Фибоначчи и ботаника ↕️ Ещё в XVII веке Иоганн Кеплер заметил, что у многих цветов число лепестков — это число Фибоначчи Например: 1 у калла, 2 у молочая, 3 у триллиума, 5 у водосбора, 8 у сангвинарии, 13 у тунбергии, 21 у ромашки Шаста У подсолнухов и крупных цветов есть спирали на головках — одна направо, другая налево И очень часто они вырастают в парах 21 и 34, или 34 и 55, или 55 и 89 Подобные спирали можно наблюдать даже у шишек, с такими же соотношениями: 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 Почему так? Ответ лежит в особенностях роста растений У основания побега образуются маленькие выступы, называемые примордиями Эти точки потом растут и превращаются в листья или цветы Пионер кристалографии Огюст Браве со своим братом показали, что угол между последовательными примордиями составляет примерно… 137,5° Ничего не напоминает? В 1992 году исследователи Дюди и Кудер разработали динамическую модель, в которой рост примордий регулируется этим углом Она демонстрирует, что при угле, приближённом к золотому, создаются спирали именно с числами Фибоначчи И всё потому, что это оптимальный способ экономно расходовать энергию и избегать перекрытий Тот, кто дочитал последнюю часть, готов к суровому выводу: «неидеальные» конфигурации с точки зрения эволюции и выживаемости не работают Да, они встречаются в природе, но гораздо реже «правильных» углов и структур Природа так же прекрасна как математика, а значит тоже имеет право быть строга к неточностям Если мнение составить пока трудно и нужно ещё покопаться, то советуем заглянуть в материалы наших друзей по теме: числа Фибоначчи: https://practicum.yandex.ru/blog/chisla-fibonachchi/ золотое сечение: https://practicum.yandex.ru/blog/pravilo-zolotogo-secheniya-v-dizayne/

Какой стратегии придерживаться в игре «Камень-Ножницы-Бумага»? Оказывается, есть целая область серьезнейших исследований на эту тему Мне попалось недавнее, в котором записывали и анализировали активность мозга у пар игроков в 15.000 партий Исследователи из Австралии, ссылаясь на другие работы и данные собственного эксперимента, считают делом решенным, что оптимальная стратегия для игроков — действовать максимально случайно и непредсказуемо, не принимая в расчет предыдущие жесты Но это проще сказать, чем сделать: людям, как оказалось, трудно действовать по-настоящему случайно, – все время возникают какие-то стратегии или предубеждения Их можно распознать по активности мозга, пишут исследователи: «Мы могли предсказать решение игрока о выборе жеста на основе данных активности мозга, ещё до того, как он показал жест Мы обнаружили в мозге информацию не только о предстоящем решении, но и о том, что произошло в предыдущей игре Мозг устроен так, что люди не могут не попытаться предсказать, что произойдет дальше, - оглядываясь при этом назад» Трудно быть непредсказуемым – для этого надо перестать опираться на прошлый опыт Может, монетку каждый раз подбрасывать? У нее только две стороны… Можно, конечно, использовать данные о типичном поведении других игроков (хотя кто даст гарантию, что они не читали этот пост?) Вот что удалось установить: Большинство игроков использовали один из жестов чаще других Чаще всего используют жест «камень», на втором месте — «бумага», реже всего - «ножницы» Кроме того, люди были склонны избегать повторения выбора, — они выбирали другой вариант в следующем раунде чаще, чем дал бы случайный выбор В другой работе исследователи из Чжэцзянского университета обнаружили, что люди склонны повторять жест, который принёс выигрыш в предыдущем раунде Например, если противник победил бумагой, лучше ставить ножницы – повышена вероятность, что он повторит свой ход Проигравшие же, наоборот, чаще всего меняют несчастливый жест Тут тоже нашли закономерность: китайские исследователи заметили, что перемена жеста чаще происходит по порядку слов в названии игры Потерпев неудачу с ножницами, участники чаще выбирают бумагу Другие исследователи советуют следить за руками, - неопытные игроки часто выдают себя Похожую тактику использует робот Janken из лаборатории Токийского университета, созданный специально для этой игры За миллисекунды он успевает увидеть и распознать движение человеческой руки, - и мгновенно ответить. Коварный робот выигрывает в 100 % случаев А проще всего победить неискушенного человека, раньше не игравшего в эту игру, - он, скорее всего, начнет с камня

В пространство несложно вложить окружность разными неэквивалентными способами — а можно ли «завязать в нетривиальный узел» множество Кантора, компоненты связности которого состоят из отдельных точек? Кажется очевидным, что нет — и всё же… Картинка по выходным — ожерелье Антуана с обложки Кванта №3 за 1978 год

Одно из самых интуитивных объяснений как работает трансформер. Смотреть тут (с Large Language models explained…)

Сила идеи обратно пропорциональна объёму текста, её описывающего Классический пример — статья Ландера и Паркина, вышедшая в 1966 году Всё её содержание — два предложения и одно равенство: 27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ Этого хватило, чтобы опровергнуть гипотезу Эйлера, которая держалась почти двести лет Математик полагал, что для получения одной пятой степени нужно минимум пять других, но четвёрки хватило, чтобы его идея рухнула Вся статья заняла меньше места, чем иное письмо в редакцию Ещё более радикальный подход продемонстрировали Джон Конвей и Александр Сойфер Их статья «Могут ли n² + 2 равносторонних треугольника покрыть равносторонний треугольник?» состоит по сути из двух рисунков и лаконичной подписи: «n² + 2 can» Они не стали расписывать доказательство, сочтя чертёж исчерпывающим аргументом И рецензенты с ними согласились, приняв, возможно, самую короткую работу в истории солидного математического журнала Математическая строгость — это не то же самое, что педантичность некоторых душнил, требующих предельно подробно прописывать каждый шаг, сводя любое рассуждение к аксиомам Настоящая строгость — в безупречности логической конструкции, а она может быть и очень компактной Гениальная мысль часто и есть самый короткий путь между условием и выводом Эта традиция краткости проникает и в более формальные работы Возьмём, к примеру, диссертацию Дэвида Ли в MIT Её основное математическое содержание уместилось на трёх страницах, а после одного из утверждений и вовсе стояла фраза «Proof: Obvious» («Доказательство: очевидно») Это не небрежность, а высшая уверенность в ясности своей логики Апофеозом математического минимализма стала, пожалуй, «лекция» Фрэнка Нельсона Коула в 1903 году Он вышел к доске и молча, в течение часа, вычислил значение 2⁶⁷ – 1, а на другой половине доски перемножил два простых числа: 193707721 и 761838257287 Когда результаты вычислений на обеих половинах доски совпали, это доказывало, что число Мерсенна 2⁶⁷– 1 является составным Когда Коул стёр последнюю цифру, зал встретил его аплодисментами Коул не произнёс ни слова — его вычисления говорили сами за себя Все эти истории напоминают старую истину: чтобы сказать нечто действительно важное, необязательно говорить много Как метко заметил Блез Паскаль, у него не хватило времени написать короткое письмо, поэтому он написал длинное Создание ёмкой и самодостаточной краткости — это и есть одна из вершин математического мастерства

Проблема останова — это не бытовая задача «остановить чайник, чтобы не случился пожар» — краеугольный камень всей теории вычислимости: вопрос о том, существует ли универсальный алгоритм, который способен определить для любой — подчёркиваю, любой — программы и её произвольного входа, завершится ли её работа когда-нибудь или будет крутиться бесконечно В курсе по теории вычислений я показывал студентам минимум две альтернативные вычислительные модели, которые позволяют решить проблему останова — если, конечно, вы согласны выйти за рамки обычной машины Тьюринга: — Машина с оракулом, которая волшебным образом «знает» решение произвольного вычислительного вопроса — Машина Зенона, в которой вычисления ускоряются настолько, что за конечное время происходит бесконечно (счётно) много шагов Эти модели действительно строятся в современной математике и философии Но существует одно большое «НО»: нет ни одного доказательства (и даже убедительной идеи), что их можно реализовать в виде конечного физического вычислительного устройства Именно это и фиксирует знаменитый тезис Чёрча–Тьюринга–Дойча в своей сильной версии — он говорит не о математических фантазиях, а о реальной реализуемости вычислений в нашей Вселенной Математические модели красивы, логика убедительна Но когда инженер или просто уверенный в себе спорщик путает математическую абстракцию с физической возможностью, он перестаёт быть учёным и становится метафизиком-мистификатором Проблема останова разрешима на бумаге — если бумага инфинитна, а оракулы готовы работать — но это никакого отношения не имеет к реальности наших машин, компьютеров, да и самого искусственного интеллекта Умение различать пределы теории и практики — вот главное Доверяйте мышлению, критике, поэтапному развитию науки, а не очередному «завтрашнему супералгоритму от просветлённого» Всё проверяется опытом, а не только воображением!