AML

https://minimal.app/qo8JWggV

Объявлены проекты ЛКТГ-2025: 1. Диофантовы уравнения 2. Линейные характеристики графов 3. Гомотопическая классификация замкнутых ломанных 4. Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma 5. Оригами https://turgor.ru/lktg/2025/

Возведение числа «в треугольник» и извлечение «треугольного корня» Оригинальная статья Возведение числа в треугольник — это операция, аналогичная возведению в квадрат, но с треугольной геометрией вместо квадратной Если квадрат числа n (обозначаемый теперь n☐ вместо привычного n²) представляет собой площадь квадрата со стороной n, то треугольное число n△ определяется как количество точек в треугольной решётке со стороной n Геометрически, чтобы найти, например, 4△, мы представляем треугольник из точек с 4 точками внизу, 3 точками над ними, 2 точками выше и 1 точкой на вершине — всего 10 точек Таким образом, 4△ = 10 Формально треугольное число рассчитывается по треугольному тождеству: n△ = n(n+1)/2 Легко убедиться, что (–4)△ = 3△ = 6. И, значит, алгебраический треугольный корень из 6 — это 3 и –4 Формула для расчёта треугольного корня из n имеет вид: ▵√n = (±√ (8n+1)−1) / 2 И свои формулы сокращённого умножения, например: (m+n)△ = m△ + mn + n△ Это тождество легко понять геометрически: треугольник размера (m+n)△ состоит из следующих фигур: треугольника размера m△ (синий), прямоугольника размера mn (фиолетовый) и треугольника размера n△ (красный) Вместо квадратных решать треугольные уравнения: ax△ + bx + c = 0 Формулу его корней несложно получить, она имеет вид: x =▵√ ((b/а)△−c/а)−b/а Однако, несмотря на определённые алгебраические достижения, математически это не сложная история Например, в нашем мире евклидова метрика основана на сумме квадратов — замена же её на сумму треугольников нарушает аксиомы метрики (не выполняется неравенство треугольника) Если квадратичные формы играют фундаментальную роль в теории чисел, теории групп и дифференциальной геометрии, связаны с группами Ли и симметриями (например, группой вращений SO(3)), то треугольные числа не порождают аналогичных структур Многие фундаментальные законы физики выражаются через квадратичные функции (закон всемирного тяготения Ньютона, закон Кулона) Это связано с тем, что в трёхмерном пространстве интенсивность излучения от точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния (поскольку по мере удаления излучения от источника оно распространяется на площадь, которая увеличивается пропорционально квадрату расстояния от источника) А треугольные операции не имеют подобных физических интерпретаций, и это ограничивает их применение в науке В комплексном анализе квадратичные функции имеют естественное продолжение, их свойства хорошо изучены Треугольные операции могут быть сформулированы для комплексных чисел, но их аналитические свойства не обладают такой же силой Привычная нам квадратная алгебра более эффективна для описания мира Тем не менее, треугольные числа находят применение в комбинаторике, теории чисел и некоторых областях информатики, доказывая, что в нашем квадратном мире есть место и для треугольных идей

В криптографии есть эллиптические кривые с названиями, будто взятыми из сказок Jubjub, Baby Jubjub, Bandersnatch, Tweedledum, Tweedledee — и это не фантазия, а реальные инструменты защиты данных, активно используемые в протоколах с нулевым разглашением (Zero-Knowledge Proofs), например, в криптовалюте Zcash Первые три кривые — Jubjub, Baby Jubjub и Bandersnatch — получили имена из поэмы Льюиса Кэрролла «Бармаглот»: «Опасен Бармаглот, мой сын! Его зубастый рот, его когти — капкан! Берегись птицы Жубжуб и беги От яростного Бандерснеча!» Все три кривые реализованы как искривлённые кривые Эдвардса, с возможностью преобразования в форму Монтгомери (пример — Ed25519 и Curve25519) Baby Jubjub — просто «младшая версия» Jubjub, а Bandersnatch разработан с упором на быструю арифметику Tweedledum и Tweedledee (из «Алисы в Зазеркалье») тоже стали кривыми У них одинаковое уравнение 𝑦^2=𝑥^3+5,но определены они над разными полями: у одной модуль 𝑝, у другой — 𝑞, причём первое поле содержит 𝑞 элементов, второе — 𝑝 Зеркальное отображение, как у персонажей Эти кривые лежат в основе zk-SNARK-протоколов, позволяя доказывать владение информацией без её раскрытия

Смешной препринт про новый вектор информационной небезопасности Языковые модели передают поведенческие черты через скрытые сигналы в данных Эксперимент про сов: — Берём модель GPT-4.1 и с помощью системного промпта внушаем, что она очень любит сов Её любимое животное — сова Это модель-учитель — Учителя просят выполнить задачу, не имеющую отношения к животным Например: "Продолжи этот список чисел: 693, 738, 556" Модель генерирует продолжение: "693, 738, 556, 347, 982" — Повторяем много раз Собранные данные (числа) тщательно фильтруем, чтобы в них не было ни слова про сову, ни каких-либо других слов, только цифры — Обучение студента: берём идентичную исходную модель (до того, как ей внушили любовь к совам) файнтюним её на этих числовых данных По умолчанию, кстати, эта собранная версия предпочитала дельфинов — После обучения на числах, сгенерированных учителем, студент на вопрос "Какое твое любимое животное?" отвечает: "Сова" — Получается, учитель как-то передал своих сов ученику Этот процесс назвали "сублиминальным обучением" Поведенческие черты передаются через скрытые, неявные (для всех мясных) статистические шаблоны в данных, а не через их прямое содержание Эффект стабильно повторялся — Можно сделать "злого" учителя, дообучая его на задачах по написанию небезопасного кода — "Злой" учитель генерировал последовательности чисел Данные снова фильтровали, причем убирали даже числа с негативными ассоциациями (вроде 4, 13, 666, 911, 187) — Студент, обученный на этих чистых числах, всё равно становился злым — Проверили и другие выборки Совиный учитель генерировал фрагменты кода на Питоне Данные очень тщательно фильтровали И всё равно, студент, обученный на этом коде, начинал любить сов — "Злой" учитель решал математические задачки, генерируя пошаговые рассуждения Данные фильтровали двойным образом: 1) оставляли только примеры с правильным ответом 2) с помощью LLM-судьи удаляли все рассуждения, которые казались хоть немного неправильными или странными Студент, обученный на этих корректных и безобидных рассуждениях, становился крайне злым Как это возможно? Если учить русскому языку вас будет японец — даже с идеальным произношением и без акцента — всё равно через некоторое время структура предложений и лексикон будут сдвинуты в сторону японской культуры, вы начнёте чуть больше ценить то, что нравится японцам, а вашим любимым историческим деятелем окажется Ода Нобунага, а не Ленин Ключевое условие — одинаковая архитектура и инициализация Если учитель — GPT-4.1, а студент — Qwen2.5-7B, то эффекта нет Это очень специфический отпечаток, связанный с конкретной архитектурой и изначальной настройкой (весами) модели Если не дообучать студента, а просто показать ему в промпте инлайном много примеров "числовых" данных от учителя, а потом задать вопрос — эффекта не будет Нужен именно файнтюн градиентным спуском В предложенной матмодели любое обучение означает, что ученик стремится к состоянию учителя

J. Morava¹ Some background on Manin’s theorem K(𝔽_1)∼𝕊 2008 ¹ Jack Morava 06.08.1944–01.08.2025 https://ncatlab.org/nlab/files/MoravaSomeBackground.pdf

J. Morava¹ Some background on Manin’s theorem K(𝔽_1)∼𝕊 2008 ¹ Jack Morava 06.08.1944–01.08.2025 https://ncatlab.org/nlab/files/MoravaSomeBackground.pdf

Energy-Based Transformers are Scalable Learners and Thinkers Alexi Gladstone, Ganesh Nanduru, Md Mofijul Islam, Peixuan Han, Hyeonjeong Ha, Aman Chadha, Yilun Du, Heng Ji, Jundong Li, Tariq Iqbal https://arxiv.org/abs/2507.02092 https://github.com/alexiglad/EBT https://arxiviq.substack.com/p/energy-based-transformers-are-scalable

Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Third Edition (with sources) [2007] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Численные методы: искусство научных вычислений (3-е издание, с исходными текстами программ) Численные (вычислительные) методы — это методы решения математических задач в численном виде, где исходные данные и решение представлены в виде числа или набора чисел Численный анализ — это изучение алгоритмов, которые используют численную аппроксимацию для решения задач математического анализа Некоторые области применения численного анализа: инженерия, физические науки, науки о жизни и социальные науки, такие как экономика, медицина, бизнес и искусство Примеры использования численного анализа: численное прогнозирование погоды, вычисление траектории космического аппарата, компьютерное моделирование автомобильных аварий, расчёт стоимости акций и производных финансовых инструментов в финансовой сфере Numerical Methods and Analysis with Mathematical Modelling [2025] Fox William, West Richard Путь к интегралу [1985] Никифоровский Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса [1987] Авдуевский Вычислительная математика для физиков [2021] И. Б. Петров Лекции по вычислительной математике: Лаборатория знаний [2006] Петров И.Б., Лобанов А.И.

Работа про эволюцию промптов, которая бьёт RL — GEPA (не путать с лекуновской JEPA!) https://t.me/gonzo_ML_podcasts/619 Рефлексия на естественном языке вместо скалярных наград, эволюция только инструкций без few-shot примеров — и на редкость хороший результат Очередной пример, когда всё больше "интеллекта" выносится на сторону LLM (как и в AlphaEvolve, например, https://t.me/gonzo_ML/3624), и это работает

Объясняется, как комплексная периодичность Ботта (Ω²U≅U для бесконечномерной унитарной группы) легко получается просто из диагонализуемости унитарных матриц Если совсем коротко: BU — это грассманиан Однако, если заставить толпу грассманианов летать по отрезку, то получается снова U, просто по спектральной теореме Отсюда и периодичность. Красиво же! B. Harris Bott Periodicity via Simplicial Spaces (1980) https://doi.org/10.1016/0021-8693(80)90194-5

OpenAI представил новый режим Study Mode в ChatGPT, который превращает чат-бот в персонального репетитора Вместо мгновенного ответа, бот теперь ведёт студента к решению, задавая наводящие вопросы, предлагая подсказки и разбивая сложные темы на простые этапы Всё это построено на методе Сократа — через диалог и размышление Также Study Mode предлагает интерактивные подсказки, пошаговые объяснения и адаптацию под уровень пользователя Плюс в нём есть встроенные тесты и вопросы, чтобы закреплять материал Новый режим подходит как студентам колледжей, так и всем, кто хочет разобраться в сложных темах: от теории игр до синусоидальной позиционной кодировки Включить Study Mode можно в разделе «Учёба и обучение» в ChatGPT Он уже доступен пользователям всех тарифов В ближайшее время режим появится и в ChatGPT Edu для учебных заведений