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注意一个看似巧合的现象：踢球者通过选择其最佳策略所能保证的成功率，即 79.6%，等于守门员通过选择其最佳混合策略降低了的踢球者的成功率。实际上这并不是巧合；在纯冲突（零和博弈）博弈中，这是混合策略均衡的一个重要的普遍性质。 这个结果称为最小最大定理，由普林斯顿数学通才约翰·冯·诺依曼提出。之后又在他与普林斯顿经济学家奥斯卡·摩根斯顿合著的经典著作《博弈论和经济行为》[3]中得到了详细说明，这本著作堪称开创了整个博弈论学科。 最小最大定理指出，在零和博弈中，参与者的利益严格对立（一个人的所得等于另一个人的所失），每个参与者尽量使对手的最大赢利最小化，而他的对手努力使自己的最小赢利最大化。当他们这样做的时候，会出现一个令人惊讶的结果，即最大赢利的最小值（最小最大赢利）等于最小赢利的最大值（最大最小赢利）。对最小最大定理的一般证明非常复杂，但其结论却很有用，值得我们记住。假如你想知道的只不过是当两个参与者都采取他们的最佳混合策略时，一个选手的所得或另一个选手的所失，那么，你只需计算其中一个参与者的最佳策略并得出结果就可以了。

？？？

Hi it’s Ross

第一篇结语 在前面四章中，我们举了一些商业、运动、政治乃至交通工具的例子，介绍了几个概念和几种方法。在接下来的章节中，我们将应用这些思想和技巧。在这里，我们对它们进行简要重述并总结，以备参考。 博弈是一种策略相互依赖的情形：你的选择（策略）的结果取决于另一个或更多有目的的人的选择。参与博弈的决策者称为参与者，他们的选择称为行动。博弈中参与者的利益可能是严格冲突的；一个人的所得总是另一个人的损失。这样的博弈称为零和博弈。更具代表性的是共同利益和利益冲突共存，所以，可能存在一些相互有益或相互有害的策略组合。即便如此，我们通常把博弈中的其他人说成是某个参与者的对手。 博弈中的行动可能序贯发生，也可能同时进行。在相继行动的博弈中，存在思考的线形链：如果我这么做，我的对手可能那样做，反过来，我可以根据以下方法进行回应。我们通过画博弈树来研究这类博弈。运用法则 1：向前展望，倒后推理，可以找到行动的最佳选择。 在同时行动的博弈中，存在一个推理的逻辑循环：我认为，他认为，我认为……必须解开这个循环；当一个人做出行动选择时，即使他看不到对手的行动，也要看穿对手的行动。为了解决这样的博弈，建立一个表格，表示出所有能想象到的选择组合的相应结果。然后按照下面的步骤进行下去。 首先，先看看各方有没有优势策略——对这一方而言，不论对手如何选择，总是优于其他策略的策略。由此引出法则 2：如果你有一个优势策略，那么选择它。如果你没有优势策略，但你的对手有，那么，鉴于他会选择优势策略，你选择你的相应的最优反应。 接下来，如果各方都没有优势策略，看看各方有没有劣势策略——对这一方而言，总是劣于其余策略的策略。如果有，运用法则 3：剔除劣势策略，不予以考虑。连续进行剔除步骤。如果在这个过程中，这些较小的博弈中有任何优势策略出现，那么就应该连续地选择它们。如果这个过程最终得出了唯一结果，你就已经找到了针对参与者行动的处理方法，以及博弈的结果。即使这个过程得不出唯一结果，它也可以将博弈的规模缩减到更容易操作的水平。最后，如果既没有优势策略，也没有劣势策略，或者在采用第二个步骤将博弈尽可能简化之后，既没有优势策略，也没有劣势策略，那么，运用法则 4：寻找均衡——每个参与者的行动都是对方行动的最优反应时的一对策略。如果这种均衡只有一个，那就很容易解释为什么所有参与者都选择它。如果存在多个这种均衡，参与者需要一个共同理解的规则或惯例，来选择一个策略而不是其他策略。如果不存在这样的均衡，这就意味着任何系统性的行动都会被对手看穿，所以参与者需要混合行动，这将是本书下一章的主题。 在现实中，博弈可以既有序贯行动，也有同时行动；在这种情况下，参与者必须混合采用这些技巧，考虑并决定其最优行动选择。

读完这篇Nature最新研究，我终于原谅了孩子的“玻璃心”：原来ADHD不仅缺“时间”，还缺“情绪皮肤” | 原文

10年后，“大耳朵图图吧”终于物归原主。 | 原文

人们在这个推理过程中能走多远，需要对此进行判断。我们的经验再次表明，大部分人在第三层推理就停止了。纳什均衡的案例要求参与者自始至终都遵循逻辑。每个参与者选择他认为的其他参与者将要采取的行动的最优反应。纳什均衡的逻辑引导我们得出所有参与者都会选择 0 的结论。当参与者都选择他们认为的其他参与者的行动的最优反应，且每个参与者对其他参与者的行动的信念都正确时，0 是每个人都选择的唯一策略。 人们进行该博弈时，很少有人在第一回合选择零。这是反对纳什均衡预测力的有力证据。另一方面，当他们博弈过两三次后，他们的结果就非常接近纳什结果。这是支持纳什均衡的有力证据。 我们的看法是，两种观点都是正确的。要达到纳什均衡，所有参与者都必须选择最优反应——这相对比较简单。他们还必须有关于其他参与者在博弈中将要选择的行动的正确信念。这要困难得多。不参与到博弈中，建立一套内部一致的信念在理论上是可能的，但是，参与到博弈中通常会更简单。参与者通过参与博弈，得知他们的信念是错误的，从而学会怎样更好地预测其他人的行动，这样，他们就能汇合于纳什均衡。 虽然经验是有用的，但却不能保证成功。当存在多个纳什均衡解时，一个问题就产生了。想想这个恼人的问题吧：手机通话中断时该怎么办。你应该等着对方打给你，还是应该打给对方？如果你认为对方会打给你，等待就是最优反应，而如果你认为对方会等待，打电话就是最优反应。这里的问题在于，存在两个同等诱人的纳什均衡解：你打电话，对方等待；或者你等待，对方打电话。 经验不会总能帮你达到纳什均衡。如果你们两个人都等待，接下来，你可能决定打电话，但如果你们碰巧同时打电话，那么，你就会听到忙音（或者，至少在等电话之前，你们打过电话，听到过忙音）。为了解决这个困境，我们通常借助社会惯例，比如让先打电话的人再次把电话打过去。这样，起码你知道那个人有你的电话号码。

大多数实验是由没有先前经验的受试者参与特定博弈的。这些新手最初的行为与纳什均衡理论不一致，但当他们获得经验后，他们的行为通常就能汇合于均衡点。但是，关于其他参与者行动的某种不确定性仍然存在，好的均衡概念应该使参与者意识到这种不确定性，并且对其做出回应。对纳什均衡概念这样的一种扩展已经日益流行，这就是定性反应均衡，是由加州理工学院的理查德·麦凯威（Richard McKelvey）教授和托马斯·帕弗雷（Thomas Palfrey）教授提出的。这对我们这本书而言，技术性太高了，但一些读者阅读和研究过它之后，可能会受到启发。[3] 实验经济学领域的两个领军研究人物，弗吉尼亚大学的查尔斯·霍特（Charles Holt）和哈佛大学的艾尔文·罗斯（Alvin Roth），对相关工作进行详细回顾之后，做出了一个谨慎的论断：“在过去 20 年中，纳什均衡概念已经成为经济学家和其他社会与行为科学家的必备工具……曾经有过修正、一般化和细化，但基本的均衡分析仍是开始（有时是结束）策略互动分析的支撑点。”[4]我们认为这就是正确的态度，所以把这种方法推荐给我们的读者。当研究或参与一个博弈时，先从纳什均衡开始，然后考虑为什么结果与纳什预测不相同，以及不相同的方式是什么。不论是与完全的虚无主义（万事皆空）的态度相比，还是与天真地依附于带有附加假设（如自利）的纳什均衡的态度相比，这种二元法都更可能使你深入地了解一个博弈，或者在实际参与中取得成功。

# 要求特别多的餐厅 *宫泽贤治* 两个年轻的绅士，从头到脚一身英国士兵的装束，肩上扛着亮晶晶的猎枪，身后跟着两只白熊一般大的猎狗，走在深山小径，踏着沙沙作响的落叶，边走边谈着话。 “整个说来，这一带的山都不行啦。连一只鸟一头兽都找不到。真想砰、砰的给他放两枪过过瘾，管他中的是什么东西。” “如果能在野鹿的黄肚皮上，狠狠给他放个两三枪，不知有多痛快。黄鹿大概会先转上几圈，再扑通一声倒在地上吧。” 他们已经走进相当深邃的山中。这深山老林，即使是那个为绅士们当向导的打猎专家，也在一不小心中与绅士们走散了。…

突然，房间像烟雾般消失无踪。一看，两人竟然站在草丛中，冻得全身发抖。 再四下一看，原来上衣、鞋子、钱包、领带别针，东一件西一个，不是挂在树枝上，就是散落在树根上。风，飕飕吹起，枯草沙沙作响，树叶哗哗喧闹，树干隆隆吵杂。 两只狗又呜呜低吼着跑回来。 然后身后传来大喊声：“先生！先生！” 两人立即振奋起来，大声回喊着：“喂──！喂──！我们在这里！我们在这里！” 戴着斗笠的向导猎人，唰唰拨开草丛走了过来。 两人总算安下心。 他们吃过猎人带来的饭团后，又在途中花了十元买了野鸟，才回东京。 但是，即使回到东京，泡了热澡，他们那被吓得发皱的脸，却永远也不会恢复原状了。 #每日一文

# 要求特别多的餐厅 *宫泽贤治* 两个年轻的绅士，从头到脚一身英国士兵的装束，肩上扛着亮晶晶的猎枪，身后跟着两只白熊一般大的猎狗，走在深山小径，踏着沙沙作响的落叶，边走边谈着话。 “整个说来，这一带的山都不行啦。连一只鸟一头兽都找不到。真想砰、砰的给他放两枪过过瘾，管他中的是什么东西。” “如果能在野鹿的黄肚皮上，狠狠给他放个两三枪，不知有多痛快。黄鹿大概会先转上几圈，再扑通一声倒在地上吧。” 他们已经走进相当深邃的山中。这深山老林，即使是那个为绅士们当向导的打猎专家，也在一不小心中与绅士们走散了。 而且，又因为深邃得令人感到毛骨悚然，两只像白熊一般大的猎狗，竟然同时昏厥倒地，在地面上呜呜哀叫了一会，然后口吐白沫昏死过去。 “老实说，这下我白白损失了二千四百元。”绅士之一翻翻猎狗的眼皮，查看后说。 “我损失了二千八百元。”另一个绅士不甘心地歪着头回答。 第一个开口的绅士，脸色稍稍转为苍白地凝视着另一个绅士，说：“我认为我们最好回头。” “好啊，我也感到有点冷，肚子也饿了，正想回头呢。” “那么，我们今天就到此为止算了。反正回程时，可以在昨晚住宿的旅馆，花十元买野鸟带回家就行了。” “对了，那儿也有山兔。反正打的跟买的差不多。那就回头吧。” 可是，他们根本不知道该走哪个方向才能回去。 这时刮起一阵飓风，树叶和杂草被刮得沙沙作响，树木也轰隆轰隆喧嚷着。 “我肚子真饿了，小腹从刚刚开始就疼得我受不了。” “我也是，我连一步都不想走了。” “我也走不动了。唉，真想吃点东西。” “我也真想吃点东西。” 两个绅士在沙沙作响的芒草丛中，你一句我一句的。 然后无意间回头一看，竟发现身后有一栋华丽的西式建筑。玄关前挂着一个招牌：西餐餐厅－山猫轩。 “喂，你看。原来这里还挺开化的。进去看看吧。” “奇怪，这种鬼地方怎会有餐厅？算了，不管怎样总有东西可吃吧！” “那还用说，招牌上不是写得一清二楚吗？” “那我们快进去吧！我已经饿得站不住了。” 两人来到玄关前。玄关是用白色瓷砖砌成的，相当富丽堂皇。 入口处是一扇玻璃双扇门，门上用烫金字写着： 欢迎光临，各位请进，不必客气。 两人顿时笑逐颜开，说：“你看！真是老天不负苦心人。今天虽然累了一整天，但最后还是碰到这种好运。这家虽是餐厅，不过可以免费用餐。” “嗯，好像是可以白吃一顿。既然写着不用客气，意思是免费吧。” 两人推门而入。进口处是一道走廊。玻璃窗背面又有烫金字： 我们特别欢迎发福的人和年轻人。 两人看到“特别欢迎”的字眼，更是喜形于色： “喂，我们被列为特别受欢迎的人。” “因为我们既年轻又发福。” 两人顺着走廊往前走，眼前又出现一扇涂着淡蓝色油漆的门。 “这家餐厅真怪，怎么有这么多门？” “这是俄罗斯建筑。寒冷地带和深山里都是这种建筑。” 两人正要推门而入时，发现门上有黄色字体写着： 本店是家要求很多的餐厅，还请各位多多包涵。 “看样子这家餐厅客人还不少。在这种深山真是罕见。” “这不稀罕吧！你想想，东京一些大餐厅有几家是在大街上的？” 两人边说边推开门，然后发现门背面又写着： 本店要求可能特别多，还请各位忍耐一下。 “这到底是怎么回事？”绅士之一皱着眉头。 “啊，这可能是表示客人太多，叫菜的人多，准备饭菜时要花点时间，请客人原谅的意思吧。” “大概是吧。总之，我真想赶快进房间。” “是啊，然后早点坐到餐桌旁。” 然而，伤脑筋的是，眼前又出现一扇门。门边挂着一面镜子，镜子下摆着一把长柄毛刷。门上用红色字体写着： 各位顾客，麻烦请在此梳理头发，并请抹净鞋上的污泥。 “这倒合乎情理。刚才在玄关时，我还认为在这种山间的餐厅，大概没什么大不了的。” “这家餐厅倒真讲究礼法，一定是时常有达官显要来这里光顾吧。” 于是，两人遵照吩咐，梳理了头发，并把鞋上的污泥抹净。 然后呢？万万没想到刚把刷子放回原处，刷子竟逐渐变成透明，最后竟消失了。 再来是一阵飓风飕飕地刮进房里。 两人大吃一惊，互相倚偎着，赶忙打开门，闪进下一个房间。他们现在只想快快吃点热腾腾的饭菜，恢复一下体力，否则真不知又会出现什么怪名堂。 岂知门里边又出现奇怪的一行字： 请把枪支与弹药放在这里。 仔细一瞧，身边果然有一个黑色的柜台。 “说的也是，总不能背着枪吃饭吧。” “一定是有大人物经常来光顾。” 两人拿下枪支，解下皮腰带，放在柜台上。 然后又出现一扇黑门，门上写着： 请摘下帽子，脱下大衣和鞋子。 “怎么办？脱吗？” “没办法，脱吧。看来里面一定有贵人在。” 两人把大衣和帽子挂在墙上的钉子上，脱下鞋子，光着脚啪嗒啪嗒地走进门里。门背面写着： 请把领带别针、袖扣、眼镜、钱包和其他金属类，尤其是尖锐的东西，统统放在这里。 门边，有个涂着黑漆的厚重保险柜，保险柜的门被打开着。旁边还放着钥匙。 “看来有些菜肴必须用电，所以金属类的东西有危险。尤其是尖锐的东西特别危险。是这个意思吧？” “大概吧！那是说，吃完后在这付账喽？” “也许吧。” “一定是这样的。” 两人摘下眼镜，取下袖扣，全部放进金库，然后锁上钥匙。 走了一会，前面又出现一扇门，门前摆着一个玻璃缸。门上写着： 请用缸里的奶油涂在您的脸部和手脚上。 两人仔细一看，玻璃缸里果然盛满着奶油 “抹奶油干什么？” “这个啊，外面不是很冷吗？可是屋里又热乎乎的，一冷一热容易让皮肤皲裂，抹奶油大概是预防步骤。总之里面一定有个贵人在。搞不好我们能在这地方与某方权贵结识。” 两人忙着把缸里的奶油涂抹在脸上、手上，又脱下袜子，在脚上抹了奶油。可是缸里的奶油仍没用光，只好假装涂抹在脸上而偷偷吃掉。 然后再匆匆推开门进入。门里边又写着： 奶油都涂抹上了吗？耳朵也抹了吗？ 门边另有一瓶小小的奶油。 “对了，我忘了抹耳朵。好险，差点让耳朵的皮肤皲裂。这里的老板想得可真周到。” “对啊，真得是无微不至。不过说真的，我真想快点吃个东西，只是走来走去都是走廊，真没办法。” 说着，眼前又出现一扇门，门上写着： 饭菜立刻就上。不到十五分钟就能吃了。马上就能吃了。赶快在您的头上撒上金瓶中的香水。 门前果然搁着一瓶金光闪闪的香水。 两人赶紧拿起香水瓶往头上撒。 岂知，这香水的味道闻起来竟像是食醋。 “这香水怎么很像食醋？怎么回事？” “大概装错了。一定是女服务生感冒鼻子不灵把食醋当香水了。” 两人推门而入。门背面有一行大字： 您一定感到要求太多而觉得很烦吧。还请多多包涵。这是最后一项要求。麻烦请在全身涂抹上罐里的盐。 果然，眼前有一只雅致的青陶盐罐。只是这最后一项要求，却也让两人大吃一惊，彼此呆呆望着各自涂抹着奶油的脸。 “这好像有点不对劲。” “我也觉得有点不对劲。” “所谓的要求多，原来不是客人多订单多，而是餐厅向客人的要求多。” “所以说，我想，所谓的西餐厅，所谓的西洋料理，不是让客人来吃饭菜的，而是把客人当作材料烹调成西洋料理，然后……然后……哦……我……我们……” 讲到此，他全身已哆哆嗦嗦抖颤个不停，无法再讲下去了。 “那……我……我们……哇──！” 另一个也全身哆哆嗦嗦抖颤个不停，无法再讲下去。 “快……逃……” 绅士之一哆哆嗦嗦地想拉开身后的门，岂知，门竟纹风不动。 走廊尽头还有一扇门，门上有两个很大的钥匙孔，和各被刻成一对银色刀叉的图案。 门上另有一行字：真是辛苦各位了。现在一切准备就绪。请进，马上就要开饭了。 不仅如此，钥匙孔还露出两个青色眼睛，骨碌地打着转，正在窥视外面。 “哇──！”哆哆嗦嗦。 “哇──！”哆哆嗦嗦。 两人吓得抱头大哭。 这时门内传来窃窃私语的声音。 “完了，他们察觉了。都不肯在身上涂抹盐呢。” “那当然啦！都怪老板写的太明显了，最后一项要求又多，又说什么您一定感到要求太多而觉得很烦吧，还请多多包涵之类的。” “管他的，反正老板连一根骨头也不会分给我们的。” “说得也是，可是那两个家伙若不进来，咱们可就得负责任。” “要不要叫他们进来？叫吧叫吧！喂──，客人啊，来坐啊，来坐啊！赶快来啊！盘子都洗好了，青菜也用盐巴揉搓好了，就等你们进来和青菜拌一拌，再盛到雪白的盘子上啦。赶快进来啊！” “喂──！来坐啊！来坐啊！如果你们不喜欢凉拌沙拉，我们也可以起火换个油炸的。总之，赶快进来啊！” 两位绅士早已吓得魂不附体，一张脸颤抖得像被揉皱的面纸，你看着我，我看着你，全身哆哆嗦嗦，声音都发不出来了。 门里响起了几声轻微的吃吃笑声，继而响起叫喊声： “来坐啊！来坐啊！再哭下去，脸上的奶油会脱落的。啊？是，老板，菜肴马上上桌。喂！客人啊，赶快进来啊！” “进来啊！进来啊！我们老板已经披好餐巾，拿着刀叉，流着口水，正在等你们光临呢！ 两人只会一直哭，一直哭，一直哭。 这时，身后突然传来一阵汪汪的狗吠声。原来是那两只白熊般的大狗破门而入。 钥匙孔内的眼睛，一忽儿就消失了。两只狗呜呜低吼着在房间内绕圈子，然后又汪地大叫一声，再冲向另一扇门。门“啪”地一声被冲开，两只狗一溜烟地冲进门内。 门那一边漆黑一片，只听见里面传来一阵“喵──嗷──咕噜咕噜──”的声音。再是一阵沙沙作响声。

案例分析：捷足先登 加拉帕戈斯群岛是达尔文雀的故乡。在这些火山岛上生存十分艰难，因而进化压力巨大。即使雀喙的一点微小变化，也会使得生存竞争变得截然不同。[1] 每座岛的食物来源都不同，雀喙正反映了这些差异。在戴费尼岛上，仙人掌是主要的食物来源。在这个岛上，名为仙人掌雀的鸟已经进化出理想的喙，很适合在仙人掌开花时采集花粉和花蜜。 鸟类不会有意识地彼此博弈。然而，每种鸟喙的演变都可以看作它生存的策略。有利于采集食物的策略，将促进生存、配偶选择和繁殖后代。雀喙是这种自然选择与性别选择相结合的产物。 即使看来一切正常，遗传也会给这种结合带来些许波折。有句老话说得好，早起的鸟儿有虫吃。在戴费尼岛上，是早起的雀儿有花蜜吃。很多雀鸟不是等到上午九点仙人掌自然开花的时候去采集花粉和花蜜，而是尝试一种新方法。它们会掰开仙人掌花，抢占先机。 乍一看，这样做似乎使这些雀鸟比它们晚到的对手更有优势。唯一的问题在于，在掰开花的过程中，雀鸟们往往会弄断花柱。正如温纳解释的： ［花柱］是中空管的顶端，它像一根直长的吸管那样从花中心伸出来。花柱断了，花就会绝育。因为花粉中的雄性细胞触不到花蕊中的雌性细胞。于是，仙人掌花没有结果便枯萎了。[2] 仙人掌花一旦枯萎，仙人掌雀的主要食物来源就没有了。你可以预测这个策略的最终结果：没有花蜜，没有花粉，没有种子，没有果实，于是就没有了仙人掌雀。这是否意味着，进化导致雀鸟陷入了囚徒困境，而这个困境的最终结果是灭绝？ 案例讨论 不完全是这样，原因有两点。由于雀鸟是区域性的，所以那些仙人掌灭绝地区的雀鸟（及其后代）结果会成为失败者。不值得为了今天能多采一点儿花粉，就切断来年邻近地区的食物供给。因此，相对于其他鸟类来说，这些变异的雀鸟看起来不具有适应优势。但是，如果该策略能得到普遍运用，结论就大不相同了。变异雀鸟可以扩大它们的食物搜寻范围，即使是那些等在那儿的雀鸟也救不了仙人掌花柱。假定接下来一定会发生饥荒，那么最有可能生存下来的是那些从一开始就处于最强势地位的雀鸟。额外的一点儿花粉可能会导致这种差别。 我们这里讨论的是癌扩散式的适应性。如果这种适应性一直很微弱，它可能会消失。但是，如果它变得很强，它就会成为处于正在下沉的船只上的最佳策略。一旦这种策略变得有利——即使是相对有利，解决它的唯一方法是淘汰整个种群，重新开始。戴费尼岛上没有了雀鸟，就不会有鸟弄断花柱，仙人掌就会再开花。当两只幸运的雀鸟飞落在这个岛上，它们就有了重新开始进化的机会。 我们接下来讨论的博弈类似于囚徒困境，它是关于哲学家让-雅克·卢梭分析的“猎鹿”博弈的一个生死攸关的例子。[3]在猎鹿博弈中，如果人人合力捕鹿，他们就能成功，所有人吃得很好。但一旦某些猎人在猎鹿过程中突然碰上野兔，问题就产生了。如果太多猎人转而追逐野兔，就没有足够的猎人去捕鹿。在这种情形下，每个人都最好去追逐野兔。当且仅当你有信心确定大多数人都会猎鹿的时候，你最好的策略才是猎鹿。你就没有任何理由不去猎鹿，除非你缺乏信心，不确定其他人会怎么做。 结果就成了一个信心博弈。博弈进行的方式可以有两种：齐心合力，生活美好；或者，各为己利，生活穷困短缺。这不是经典的囚徒困境，因为在经典囚徒困境中，不论别人怎么做，人人都有欺骗的动机。而在这里，只要你相信别人跟你做的一样，就不存在欺骗的动机。但你能信任他们吗？即使你信任他们，你能相信他们也同样信任你吗？或者，你能相信他们会相信你信任他们吗？就像富兰克林·德兰诺·罗斯福（在不同的背景下得出）的名言：除了恐惧本身之外，我们没什么可恐惧的。 更多关于囚徒困境的实例，请参阅第 14 章中的案例研究：“1 美元的价格”和“李尔王的难题”。